I PUNTI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI

I punti notevoli di un triangolo sono punti in cui si intersecano specifici segmenti del triangolo. Essi sono particolarmenti importanti perché permettono di definire caratteristiche importanti dei relativi triangoli.

• Il Baricentro
• L'Ortocentro
• Il Circocentro
• L'Incentro
• L'excentro
• Il Punto di Fermat
• Il Punto di Lemoine

E' interessante osseravare anche alcune costruzioni fatte sfruttando le caratteristiche dei triangoli.

• La Retta di Eulero
• Il Cerchio di Lemoine
• Il Cerchio di Brocard
• Il 1° triangolo di Brocard
• Il 2° triangolo di Brocard

Docente: Prof. Laura Citrini

Progetto realizzato da: Marco Ricchezza

Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle sue mediane, cioè dei segmenti che uniscono ciascun vertice con il punto medio del lato opposto. Per ogni triangolo il baricentro è il punto d'equilibrio della figura ed è sempre interno. Si può dimostrare che ciascuna delle tre mediane viene divisa dal baricentro in due parti in rapporto 2:1. Il baricentro di un triangolo qualsiasi si trova sempre ad 1/3 dell'altezza. Nell'applet, i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, i punti viola D,E,F sono i punti medi, le rette porpora sono le mediane e il punto giallo G è il baricentro.

L'ortocentro è dato dall'incrocio delle altezze, cioè le rette passanti per i vertici e perpendicolari ai lati opposti; è interno nei triangoli acutangoli, esterno nei triangoli ottusangoli e coincide col vertice dell'angolo retto nei triangoli rettangoli. Nell'applet, i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, le rette porpora sono le altezze e il punto giallo D è l'ortocentro.

In un triangolo ABC, l'asse relativo ad un lato è la retta perpendicolare a questo e passante per il suo punto medio. I tre assi del triangolo passano tutti per uno stesso punto, detto circocentro. Questo punto è equidistante dai tre vertici A, B e C, ed è il centro del cerchio passante per questi tre punti. Nell'applet, i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, i punti viola D,E,F sono i punti medi, le rette porpora sono gli assi, il punto giallo G è il circocentro e il cerchio verde è il cerchio circoscritto al triangolo ABC.

L'incentro è ottenuto con l'incrocio delle bisettrici, è sempre interno al triangolo. È un punto equidistante da tutti i lati ed è il centro del cerchio inscritto. Nell'applet, i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, le rette porpora sono le bisettrici, il punto giallo D è l'incentro e il cerchio verde è il cerchio inscritto nel triangolo ABC.

L'excentro è il punto di intersezione delle bisettrici di due angoli esterni e della bisettrice dell'angolo interno non adiacente ad essi. Ogni triangolo ha tre excentri, che sono i centri delle tre circonferenze exinscritte (o exscritte), cioè tangenti ad un lato del triangolo ed ai prolungamenti degli altri due. Nell'applet i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, le rette porpora sono le bisettrici interne, le rette arancio sono le bisettrici esterne, i segmenti azzurri sono le perpendicolari ai lati del triangolo passanti per i rispettivi excentri, i punti gialli D,E,F sono i tre excentri e i tre cerchi verdi sono i cerchi centrati negli excentri a tangenti a un lato del triangolo e ai prolungamenti degli altri due.

Il punto di Fermat è uno dei molteplici punti notevoli di un triangolo poco conosciuti. Il punto di Fermat ha diverse proprietà. Dato un triangolo ABC si deve costruire su ogni lato un triangolo equilatero in modo da formare tre triangoli chiamati ABC',AB'C,A'BC. Congiungendo AA', BB', CC' questi tre segmenti si incontrano in un punto F. Si dimostra che AA'= BB'= CC'. Infatti i triangoli ACA' e B'CB sono uguali perché CA = CB', CA' = CB, l'angolo ACA' = l'angolo BCB'. Ne segue che AA' = BB' e analogamente si prova che AA' = CC'. Creiamo tre circonferenze alpha, beta, gamma tali che gamma sia circoscritta a ACB', alpha sia circoscritta a A'CB e beta sia circoscritta a AC'B. Le tre circonferenze avranno tutte in comune il punto F. Poiché i quadrilateri AC'BF, AB'CF sono inscritti in una circonferenza, l'angolo AFB =120° e l'angolo AFC =120° Ne segue che: l'angolo BFC=120°: quindi il punto F appartiene a beta. Il punto F appartiene a BB' perché: l'angolo AFB = 120°, l'angolo AFB' = l'angolo ACB'= 60°. Allo stesso modo si dimostra che F appartiene a AA' e anche a CC'. Il punto F è detto "punto di Fermat" del triangolo ABC.

Dato un triangolo ABC, l’incrocio delle sue simediane concorrono in un punto K che prende il nome di punto di Lemoine. La simediana è la simmetrica della mediana rispetto alla bisettrice. Il punto di Lemoine si può anche ottenere come punto in cui si intersecano i tre segmenti che rispettivamente passano per il punto di mezzo di un lato e il punto di mezzo dell'altezza su tale lato. Quindi il punto di Lemoine di un triangolo rettangolo è il punto di mezzo dell'altezza sull'ipotenusa. Nell'applet i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, le rette porpora sono le bisettrici, i segmenti verdi sono le mediane, i segmenti arancio sono le simediane e il punto giallo K è il punto di Lemoine.

La Retta di Eulero è la retta passante per il baricentro, l'ortocentro e il circocentro di un triangolo. Posto G il baricentro, H l'ortocentro e K il circocentro si ha che KH/GK=3. Infatti il baricentro divide il segmento che unisce ortocentro e circocentro in due parti una il doppio dell'altra. Nell'applet i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, il punto G è il baricentro, il punto H è l'ortocentro, il punto K è il circocentro e la retta gialla è la retta di Eulero.

Dato un triangolo ABC e il punto di Lemoine K, le rette passanti per K, condotte parallelamente ai lati del triangolo e limitate ad essi prendono il nome di rette parallele di Lemoine. Le parallele di Lemoine determinano sui lati del triangolo sei punti che appartengono a uno stesso cerchio detto Cerchio di Lemoine. Nell'applet i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, i segmenti porpora sono le simediane, i segmenti gialli sono le parallele di Lemoine, i punti azzurri sono le intersezioni tra le parallele di Lemoine e il triangolo ABC, il cerchio verde è il cerchio di Lemoine.

Considerato un triangolo ABC, il suo punto di Lemoine K ed il suo circoncentro O, riveste notevole interesse il cerchio che ha per diametro il segmento OK (e per centro il punto medio di tale segmento, ossia il centro del cerchio di Lemoine); il cerchio così ottenuto prende il nome di Cerchio di Brocard. Il cerchio di Brocard passa per sette punti notevoli:

• il circoncentro O
• il punto di Lemoine K
• i punti A1,B1,C1, cioè i punti in cui il cerchio di Brocard interseca le parallele di Lemoine
• il 1° punto di Brocard W, che rappresenta l'intersezione delle rette AC1, BA1, CB1
• il 2° punto di Brocard W1, che rappresenta l'intersezione delle rette AB1, BC1, CA1

Nell'applet i punti rossi A,B,C sono i vertici del triangolo, le rette porpora sono le parallele di Lemoine, le rette arancio intersecano il primo punto bi Brocard, le rette azzurre intersecano il secondo punto di Brocard, e i sette punti gialli sono i sette punti notevoli per cui passa il cerchio di Brocard (in verde).

Dato un triangolo ABC e il suo circoncentro O, le rette perpendicolari ai lati del triangolo e passanti per O, secano il cerchio di Brocard in tre punti A1, B1, C1, l'unione di questi punti origina un triangolo detto 1° triangolo di Brocard.

Dato un triangolo ABC e le sue simediane, esse secano il cerchio di Brocard in tre punti A2, B2, C2, l'unione di questi punti origina un triangolo detto 2° triangolo di Brocard.