Programma

   Prima parte

• Teoria degli insiemi:
  Definizione, unione, intersezione, insieme complementare. Leggi di de Morgan.
  Prodotto cartesiano tra insiemi.
  Insiemi numerici: intervalli e intorni, chiusi, aperti e semiaperti.
  Massimo e minimo, estremo superiore e inferiore



• Matematica di base:
  Equazioni e disequazioni di I e II grado.
  Operazioni sui polinomi, fattorizzazione e ricerca di radici.
  Equazioni e disequazioni razionali e irrazionali.
  Potenze e logaritmi.
  Trigonometria (comprese le formule: addizione, duplicazione, prostaferesi)



• Funzioni:
  Definizione e grafico di funzioni elementari.
  Limite di una funzione: definizione e prime proprietà.
  Forme di indecisione.
  Continuità delle funzioni: definizione e proprietà.
  Infiniti, infinitesimi: i simboli "o piccolo", “O grande” e "˜" (asintotico).



• Calcolo differenziale nel campo reale.
  Derivata: definizione e derivate di funzioni elementari; regole di derivazione.
  Legame tra derivabilità e continuità.
  Punti stazionari: massimi e minimi assoluti e relativi.
  Derivate di funzioni inverse e di funzioni composte.
  Derivate di ordine superiore al primo. Punti di flesso.
  Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange.
  I due teoremi di De l’Hôspital: applicazione allo studio di forme di indecisione.
  Studio del grafico di una funzione qualsiasi.



• Approssimazione di funzioni reali tramite polinomi.
  Formula di Taylor e di McLaurin.
  Serie di Fourier.
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   Seconda parte

• Successioni:
  Definizione, nozione di convergenza e divergenza.



• Serie:
  Definizione di serie e proprietà. Criteri di convergenza per serie a termini positivi.



• Integrali nel campo reale secondo Riemann.
  Integrale definito: significato geometrico.
  Teorema di Riemann. Teorema della media integrale.
  Valor medio di una funzione in un intervallo.
  Teorema fondamentale del calcolo integrale.
  Definizione e proprietà degli integrali indefiniti;
  Metodi di integrazione.
  Caso della funzione integranda razionale.



• Integrali impropri.
  Integrali impropri di primo e secondo tipo.
  Criteri di convergenza per gli integrali impropri.



• Numeri complessi:
  Definizione, forma algebrica e trigonometrica.
  Proprietà, operazioni tra numeri complessi.
  Il piano di Argand-Gauss, radici n - esime dell’unità.
  Formule di Eulero. Forma esponenziale di un numero complesso.



• Equazioni differenziali:
  Il problema di Cauchy per un’equazione differenziale ordinaria.
  Equazioni differenziali del I ordine a variabili separabili; integrali singolari.
  Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti: equazione caratteristica.
  Equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.
  Equazioni differenziali lineari omogenee di ordine superiore. Cenno al caso non omogeneo.



• Funzioni di più variabili:
  Definizione, Definizione di funzioni parametriche.
  Limiti, continuità, derivate parziali, derivata direzionale.
  Punti stazionari e loro classificazione, gradiente.
  Formula di Taylor.
  Integrali doppi e riduzione a due integrazioni successive.
  Equazioni differenziali alle derivate parziali del I e II ordine e loro classificazione.
  Principali equazioni alle derivate parziali del II ordine.
  Serie di Fourier.